The Chaos Game: Το τρίγωνο του Sierpinski. Του Δαπόντε Ν.
Ημερομηνία Monday, February 16 @ 13:21:14 EET
Θέμα Στατιστική


Νίκος Δαπόντες daponte@sch.gr

Ένα από τα πιο ενδιαφέροντα αντικείμενα της "Μορφοκλασματικής" Γεωμετρίας (Fractal Geometry)  είναι το λεγόμενο "τρίγωνο του Sierpinski".

Αυτό μπορεί να κατασκευαστεί εύκολα ακολουθώντας έναν και μόνο κανόνα:
"Με αφετηρία ένα τρίγωνο, ενώνουμε τα μέσα των πλευρών του και αφαιρούμε το μεσαίο τρίγωνο. Επαναλαμβάνοντας αυτή τη διαδικασία, στο όριο, οδηγούμαστε στο τρίγωνο του Sierpinski".
Παρακάτω παρουσιάζονται τα 5 πρώτα σχήματα που προκύπτουν με αυτή τη διαδικασία (τα δημιουργήσαμε στο περιβάλλον του Microworlds με ένα απλό πρόγραμμα που αξιοποιεί την τεχνική των αναδρομικών κλήσεων). Αυτό το κλασικό φράκταλ επινοήθηκε στις αρχές του περασμένου αιώνα (1916) από το μεγάλο Πολωνό μαθηματικό  Waclaw Sierpinski (1882-1969). 



The Chaos Game. Με λίγη φαντασία και ένα ζάρι τριών επιλογών (κόκκινο, πράσινο, μπλε) μπορούμε να παίξουμε ένα παιχνίδι το οποίο θα μας οδηγήσει ακριβώς στο τρίγωνο του Sierpinski. Βρισκόμαστε σε μια θέση κάπου μεταξύ των τριών σπιτιών όπως στο σχήμα.

 

Ρίχνουμε το ζάρι. Αν έρθει <κόκκινο> τότε στρέφομαι προς το κόκκινο σπίτι και προχωράω μέχρι να διανύσω τη μισή διαδρομή. Εκεί, αφήνω ένα "κόκκινο" σημάδι και ξαναρίχνω το ζάρι. Αν έρθε <μπλε> τότε στρέφομαι προς το μπλε σπίτι και προχωράω μέχρι να διανύσω τη μισή διαδρομή. Εκεί, αφήνω ένα "μπλε" σημάδι και ξαναρίχνω το ζάρι. Αν έρθει <πράσινο> τότε προχωράω προς το πράσινο σπίτι και στα μισά της απόστασης αφήνω ένα "πράσινο" σημάδι. Μετά από 100 ρίψεις και διαδρομές σύμφωνα με τον παραπάνω κανόνα του παιχνιδιού έχουμε την εικόνα:

Το σχήμα φαίνεται τυχαίο. Όμως, επιμένοντας με 5000 ρίψεις το αποτέλεσμα είναι εκπληκτικό. Δημιουργείται ένα τρίγωνο του Sierpinski!

Ας πειραματιστούμε. α) Επιβεβαιώστε ότι
1. Ο σχηματισμός του Sierpinski  δημιουργείται με τους ίδιους κανόνες παιχνιδιού για οποιαδήποτε θέση των τριών κορυφών - σπιτιών. Στο τρίγωνο διακρίνουμε τρία αυτο- όμοια σχήματα, αντίγραφα του αρχικού σε σμίκρυνση.
2. Με δοσμένη την αρχική θέση των τριών κορυφών, ο σχηματισμός του Sierpinski είναι ίδιος ανεξάρτητα από τη θέση αφετηρίας.

β) Τι θα συμβεί αν αλλάξουμε τον κανόνα του παιχνιδιού;
Επαναλαμβάνουμε το παιχνίδι αλλά αυτή τη φορά φροντίζουμε να αφήνουμε σημάδια σε απόσταση 2/3 και όχι 1/2.

Αν επιλέξουμε ως απόσταση 3/2 τότε παίρνουμε τον παρακάτω σχηματισμό. Παρατηρούμε σημάδια και των τριών χρωμάτων, εντός και εκτός του τριγώνου των τριών κορυφών - σπιτιών. Τρίγωνο Sierpinski δεν σχηματίζεται.

Το περιβάλλον στο Microworlds. Όλα τα σχήματα προέρχονται από το μικρό πρόγραμμα που προσομοιώνει το φαινόμενο που μόλις περιγράψαμε. Τα τρία σπίτια μεταφέρονται με κλικ και σύρσιμο στις επιθυμητές θέσεις στην οθόνη. Με κλικ στο κουμπί έναρξης αρχίζει το παιχνίδι και η περιοχή γεμίζει συνεχώς με νέα σημάδια. Με το κουμπί C σβήνουμε τα σημάδια, η οθόνη καθαρίζει.

Για να τρέξετε το πρόγραμμα online θα πρέπει προηγουμένως να κατεβάσετε το plugin του Microworlds. Στη συνέχεια, κάνετε κλικ εδώ.

Αν επιθυμείτε να κατεβάσετε το αρχείο τύπου .mw2 και να το τρέξετε στο περιβάλλον του Microworlds κάνετε κλικ εδώ.


   







Το άρθρο αυτό προέρχεται από www.epyna.eu
http://www.epyna.eu

Το URL της ιστορίας αυτής είναι ο εξής
http://www.epyna.eu/modules.php?name=News&file=article&sid=372