Search
Topics
  Create an account Home  ·  Topics  ·  Downloads  ·  Your Account  ·  Submit News  ·  Top 10  
Περιφέρεια Ν. Αιγαίου


Online χρήστες
Υπάρχουν επί του παρόντος 27 Επισκέπτης(ες) και 0 Μέλος(η) που είναι συνδεδεμένος(οι)

Είσαστε ανώνυμος χρήστης. Μπορείτε να εγγραφείτε πατώντας εδώ

Ενδιαφέρουσες Συνδέσεις
Ενδιαφέρουσες Συνδέσεις

Εξετάσεις
Πανελλήνιες
ΑΣΕΠ

Έργα 3ου ΚΠΣ
Επιτροπή Επιμόρφωσης Ν. Κυκλάδων
ΠΕΠ Ν.Αιγαίου
Δικτυακός Τόπος ΚτΠ
Γραφείο για την ΚτΠ του ΥΠΕΠΘ
Ειδική υπηρεσία εφαρμογής προγραμμάτων ΚΠΣ
Δικτυακός Τόπος ΕΠΕΑΕΚ

Μεταπτυχιακά
Μεταπτυχιακά

Ανακοινώσεις EduNet
-Λογαριασμοί mail και dialup για εκπαιδευτικούς

Ευρωπαϊκά Προγράμματα
Τρέχοντα προγράμματα που ενδιαφέρουν τα σχολεία
European SchoolNet

Πολιτιστικές Εκδηλώσεις
Πολιτιστικές Εκδηλώσεις 

Εκπαιδευτική Νομοθεσία
Εκπαιδευτική Νομοθεσία

Δρομολόγια Πλοίων
Δρομολόγια Πλοίων (από και προς Σύρο)

Δρομολόγια Πλοίων γισ τα νησιά των Κυκλάδων




Άλλες πηγές καιρού



ΕΛΜΕ Κυκλάδων


ΚΕΠΛΗΝΕΤ Νομού Κυκλάδων
  





Σχολικοί Σύμβουλοι


Τηλεεκπαίδευση

Πληροφορίες από εδώ.


Μελέτες-Έρευνες: Τρία προγράμματα σχεδίασης διάσημων καμπυλών (Microworlds). Του Ν. Δαπόντε
Ημερομηνία καταχώρησης Tuesday, August 24 @ 14:00:00 EEST από admin0

Microworlds Εκπαιδευτικές Εφαρμογές dapontes Αρθρα "

 

Ο Αρχαίοι Έλληνες Γεωμέτρες επινόησαν πολλές καμπύλες με σκοπό την επίλυση προβλημάτων (όπως για παράδειγμα, ο διπλασιασμός του κύβου, ο τετραγωνισμός του κύκλου, η τριχοτόμηση οξείας γωνίας) που ήταν αδύνατο να λυθούν με τη χρήση των οργάνων διαβήτη και χάρακα. Έτσι, επινοήθηκαν ποικίλες καμπύλες όπως η Κισσοειδής  του Διοκλή (1ο αιώνα π.Χ.), η Ελικοειδής του Αρχιμήδη (287-212 π.Χ), η Τετραγωνίζουσα του Ιππία  (4ο αιώνα π.Χ), η Κογχοειδής του Νικομήδη (2ο αιώνα π.Χ).
Από το 17ο αιώνα, κυρίως, αρκετοί είναι οι ευρωπαίοι επιστήμονες (Dürer (1515), Desargues (1640), Huygens (1679), Leibniz, Newton (1686), de L'Hôpital (1690), Jakob Bernoulli (1690), la Hire (1694), Johann Bernoulli (1695), Danilel Bernoulli (1725) and Euler (1745, 1781) που αφοσιώθηκαν στη μελέτη καμπυλών όπως Κυκλοειδής, Καρδιοειδής, Νεφροειδής, Δελτοειδής, Αστεροειδής, Ελικοειδής, Κογχοειδής κ.α. Εκείνη την εποχή δόθηκε ώθηση στη μελέτη των καμπυλών και ανακαλύφθηκαν οι σημαντικές ιδιότητες της κυκλοειδούς καμπύλης. Σ΄αυτήν την εργασία χρησιμοποιούμε τρία μικρά εξειδικευμένα προγράμματα στο περιβάλλον του Microworlds: 
Το πρώτο, με όνομα  «Πολικές Συντεταγμένες», εξυπηρετεί στη σχεδίαση καμπυλών. Το μόνο που απαιτείται είναι η εισαγωγή της εξίσωση της καμπύλης σε πολικές συντεταγμένες. Με το δεύτερο πρόγραμμα, με όνομα «Σύνθεση Κυκλικών Κινήσεων», σχεδιάζουμε καμπύλες που προκύπτουν από τη σύνθεση δύο ομαλών κυκλικών κινήσεων.  Μ΄ αυτόν τον τρόπο σχεδιάζουμε καμπύλες που ανήκουν στην οικογένεια των επιτροχοειδών – επικυκλοειδών (epicycloids) και υποτροχοειδών - υποκυκλοειδών (hypocycloids).
Τέλος, το τρίτο πρόγραμμα με όνομα «Χελώνα και καμπύλες» μας επιτρέπει να χαράζουμε καμπύλες όπως την κυκλοειδή, την αστεροειδή, τη δελτοειδή, τη νεφροειδή κ.α.  με το να προγραμματίζουμε τη χελώνα της Logo να κινείται σύμφωνα με έναν απλό  κανόνα. 



Το ενδιαφέρον συνεχίστηκε και τους επόμενους αιώνες και ιδιαίτερα το 19ο αιώνα οπότε  τέθηκε το κρίσιμο πρόβλημα για τη σχεδίαση ατμομηχανών  όπως η μετατροπή μιας κυκλικής κίνησης σε ευθύγραμμη και αντίστροφα.
Σήμερα, στη δευτεροβάθμια εκπαίδευση οι μαθητές ασχολούνται με τις γραφικές παραστάσεις συναρτήσεων όπως οι πολυωνυμικές (f(χ)=αχ+β,  f(χ)=αχ2  , f(χ)=αχ3   κ.λ.π.),  οι τριγωνομετρικές (f(χ)=ημχ, f(χ)=συνχ, f(χ)=εφχ), οι ρητές συναρτήσεις τύπου f(χ)=α/χ , καθώς και οι εκθετικές και λογαριθμικές συναρτήσεις. Από την άλλη, στο μάθημα της Φυσικής οι μαθητές Α΄ Λυκείου μπορεί να «βλέπουν» την Κυκλοειδή καμπύλη σχεδιασμένη ως τροχιά ενός σημείο μιας ρόδας ποδηλάτου που κινείται ευθύγραμμα και ομαλά αλλά δεν την κατανοούν. Το ίδιο συμβαίνει και  στο μάθημα της Αστρονομίας Β΄ Λυκείου όπου οι μαθητές διδάσκονται την ανάδρομη κίνηση και τους «βρόγχους» χωρίς όμως να μπορούν να πειραματιστούν με τη σύνθεση δύο ομαλών κυκλικών κινήσεων εφόσον δεν έχουν στη διάθεσή τους κατάλληλα λογισμικά (βλέπε σχετικό άρθρο στην εκπαιδευτική πύλη νοτίου Αιγαίου: Γεωκεντρικό και Ηλιοκεντρικό μοντέλο).     
Σύμφωνα με την άποψη που εκφράζουμε εδώ, η αποκλειστική χρήση των Καρτεσιανών Συντεταγμένων (προνομιακή στο περιβάλλον χαρτί – μολύβι), ο αποκλεισμός των Πολικών Συντεταγμένων και η αδυναμία πειραματισμού με τη σύνθεση κινήσεων στερεί τους μαθητές από την ευκαιρία να γνωρίσουν μια σειρά από ενδιαφέρουσες καμπύλες και φαινόμενα. Στην εργασία αυτή προτείνουμε, επομένως, την αξιοποίηση  κατάλληλων πληροφορικών περιβαλλόντων τα οποία παρέχουν εκπληκτικές δυνατότητες για τη μελέτη φαινομένων και καμπυλών που είναι δύσκολο να ενταχθούν στη διδασκαλία των Μαθηματικών, της Φυσικής και της Αστρονομίας με τα γνωστά παραδοσιακά μέσα. Με άλλα λόγια προτείνουμε ιδέες για τον εμπλουτισμό των Προγραμμάτων Σπουδών στα παραπάνω μαθήματα με την οργανική ένταξη προσομοιώσεων και μοντελοποιήσεων με προγράμματα υπολογιστή. Επιπλέον, επιχειρείται μια νέα κατηγοριοποίηση των καμπυλών της οικογένειας των κυκλοειδών.     
 Για τη σχεδίαση καμπυλών θα μπορούσαμε να χρησιμοποιήσουμε πολλά εξελληνισμένα λογισμικά όπως για παράδειγμα α) το περιβάλλον του  Modellus το οποίο προσφέρει σημαντικές δυνατότητες και είναι κατάλληλο για μοντελοποιήσεις β) τα λογισμικά Sketchpad και Cabri που θεωρούνται κατάλληλα για γεωμετρικές κατασκευές ή κάποιο άλλο. Προτιμήσαμε το γνωστό εξελληνισμένο πρόγραμμα  Microworlds μια και θέλαμε να δημιουργήσουμε τα «προγράμματα σχεδίασης καμπυλών» από μηδενική βάση και χωρίς κανέναν περιορισμό. Χρησιμοποιούμε τρία μικρά εξειδικευμένα προγράμματα, γραμμένα σε γλώσσα Logo, στο περιβάλλον του Microworlds: 

Α. Το πρώτο, με όνομα  «Πολικές Συντεταγμένες», εξυπηρετεί στη σχεδίαση καμπυλών σε ένα λιτό περιβάλλον, το απλούστερο δυνατό. Το μόνο που απαιτείται είναι η εισαγωγή της εξίσωση της καμπύλης σε πολικές συντεταγμένες.


Εκτός από το κυρίαρχο Καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων υπάρχουν και άλλα όπως για παράδειγμα το γνωστό σύστημα Πολικών Συντεταγμένων. Είναι χρήσιμο όταν οι πληροφορίες για τη σχεδίαση μιας καμπύλης εκφράζονται με όρους απόστασης από ένα σταθερό σημείο Ο (αρχή, πόλος). Κάθε σημείο (Α) του επιπέδου χαρακτηρίζεται από τις συντεταγμένες (r,t). Το r=f(t) εκφράζει την απόσταση του σημείου Α από τον πόλο Ο και το t τη γωνία μεταξύ μιας ημιευθείας Οχ (αρχική πλευρά) και της ΟΑ (ακτίνα). Αν r<0 τότε έχουμε περιστροφή της ακτίνας κατά 180 μοίρες. Αποδεικνύεται ότι ισχύει: (r,t) = (r,t+360) και (-r,t) = (r,t+180)

Η r=f(t), εξίσωση της καμπύλης σε πολικές συντεταγμένες, εισάγεται στο πλαίσιο κειμένου με όνομα < kr > τηρώντας τους κανόνες συντακτικού του Microworlds.

Πώς σκεφτόμαστε για να σχεδιάσουμε μια καμπύλη αν είναι γνωστή η εξίσωσή της σε πολικές συντεταγμένες;

Από ένα σταθερό σημείο (αρχή ή πόλος) η χελώνα με τη μορφή μικρής σφαιρας προχωράει μπροστά κατά  r=f(t) για μια τιμή της γωνίας t ως προς την αρχική πλευρά. Σ΄αυτή τη θέση ζητείται από τη χελώνα να αφήσει το αποτύπωμα της (εντολή σφραγίδα) και στη συνέχεια να επιστρέψει πίσω κατά την ίδια ποσότητα. Αμέσως μετά τις ζητείται να στρίψει αριστερά κατά μία μοίρα. Η διαδικασία επαναλαμβάνεται συνεχώς: η χελώνα στρίβει κατά μία μοίρα και η γωνία αυξάνει κατά 1 κ.ο.κ.

Το πρόγραμμα στο περιβάλλον του Microworlds περιλαμβάνει: α) τις αρχικές συνθήκες γωνίας και κατεύθυνσης χελώνας σε ένα πλαίσιο κειμένου με όνομα < αρχικές >     κάνε "t 0 χ1, θέσεκατεύθυνση 0

β) τη βασική διαδικασία σχεδίασης 

χ1, μπ (εκτέλεσε kr) σφραγίδα  η χελώνα προχωράει r=f(t) 
πι (εκτέλεσε kr)                    η χελώνα επιστρέφει r=f(t) 
αρ 1 κάνε "t t + 1
η χελώνα στρίβει αριστερά 1 και η t ->t+1

γ)τη συνάρτηση f(t) που εισάγεται από το χρήστη σε ένα πλαίσιο κειμένου < κ >. Για παράδειγμα, γράφοντας:

70               -----> σχεδιάζεται κύκλος ακτίνας 70 pixels

70 + 70 συν t -----> σχεδιάζεται η καρδιοειδής καμπύλη

δ) Η διαδικασία ξεκινάει με κλικ στο δρομέα για να ενεργοποιηθούν οι εντολές  εκτέλεσε αρχικές χ1, συνεχώς [εκτέλεσε κ]

ε) Με κλικ στα χρωματιστά τετραγωνάκια επιλέγουμε το χρώμα της γραμμής σχεδίασης. Με κλικ στα άλλα δύο κουμπιά σβήνουμε τις καμπύλες που έχουμε σχεδιάσει ή κάνουμε επανεκκίνηση.  

Σημείωση: Για να μπορούμε να γράφουμε τη μεταβλητή γωνία ως t (αντί για :t που επιβάλλει η Logo) στο πλαίσιο κειμένου που εισάγεται η συνάρτηση θα πρέπει να εφοδιάσουμε το πρόγραμμα με τη διαδικασία 

για t

έξοδος :t

τέλος              

Β. Με το δεύτερο πρόγραμμα, με όνομα «Σύνθεση Κυκλικών Κινήσεων», σχεδιάζουμε καμπύλες που προκύπτουν από τη σύνθεση δύο ομαλών κυκλικών κινήσεων.  Μ΄ αυτόν τον τρόπο σχεδιάζουμε καμπύλες που ανήκουν στην οικογένεια των επιτροχοειδών – επικυκλοειδών (epicycloids) και υποτροχοειδών - υποκυκλοειδών (hypocycloids).


Παραδοσιακά, οι καμπύλες της οικογένειας των επικυκλοειδών (υποκυκλοειδών) προκύπτουν με τη χρήση δύο τροχών εκ των οποίων ο ένας είναι ακίνητος (ακτίνας ρ1) και ο άλλος (ακτίνας ρ2) κυλάει στο εξωτερικό (εσωτερικό) του ακίνητου τροχού. Η τροχιά που διαγράφει ένα σημείο Μ της περιφέρειας του δεύτερου τροχού ονομάζεται επικυκλοειδής (υποκυκλοειδής) καμπύλη, αντίστοιχα. Στην προσομοίωση που ακολουθεί μπορούμε να παρακολουθήσουμε την τροχιά που διαγράφει το σημείο της περιφέρειας του περιστρφόμενου τροχού.

Στη γενικότερη περίπτωση θεωρούμε ότι το Μ δεν είναι σημείο της περιφέρειας αλλά σημείο της περιστρεφόμενης ακτίνας. Τότε, μιλάμε για επιτροχοειδείς ή υποτροχοειδείς καμπύλες.

Η λογική οικοδόμησης του προγράμματος στο περιβάλλον του Microworlds

Ενώ στο προηγούμενο πρόγραμμα η σχεδίαση μιας καμπύλης απαιτεί την είσοδο της εξίσωσης σε πολικές συντεταγμένες, τώρα απαιτείται η είσοδος παραμέτρων όπως οι ακτίνες των δύο κυκλικών κινήσεων καθώς και οι γωνιακές τους ταχύτητες.

Η κόκκινη χελώνα - σφαιρίτσα διαγράφει κυκλική τροχιά ακτίνας ρ1 με σταθερή γωνιακή ταχύτητα ω1. Οι τιμές των ρ1 και ω1 ρυθμίζονται με τη βοήθεια των αντίστοιχων μεταβολέων. Μια δεύτερη πράσινη χελώνα - ρόμβος διαγράφει κυκλική τροχιά ακτίνας ρ1+ρ2 με σταθερή γωνιακή ταχύτητα ω1 και γύρω από αυτήν περιφέρεται μια άλλη μπλε χελώνα - σφαιρίτσα με χαρακτηριστικά ρ2 και ω2.

  

Ρυθμίζοντας τους λόγους των ακτίνων ρ1/ρ2 και γωνιακών ταχυτήτων ω1/ω2 είμαστε σε θέση να σχεδιάσουμε όλες τις καμπύλες της οικογένειας των επικυκλοειδών και των υποκυκλοειδών (καρδιοειδής, αστεροειδής, δελτοειδής, νεφροειδής κ.λ.π). Επιπλέον, επιλέγοντας κατάλληλα την παράμετρο h από μεταβολέα μπορούμε να σχεδιάσουμε όλες τις επιτροχοειδείς και υποτροχοειδείς καμπύλης. Με άλλα λόγια οι επι/υπο-κυκλοειδείς καμπύλες είναι ειδική περίπτωση των επι/υπο-τροχοειδών (h=0).  

Γ. Τέλος, το τρίτο πρόγραμμα με όνομα «Χελώνα και καμπύλες» μας επιτρέπει να χαράζουμε καμπύλες όπως την κυκλοειδή, την αστεροειδή, τη δελτοειδή, τη νεφροειδή κ.α.  με το να προγραμματίζουμε τη χελώνα της Logo να κινείται μπροστά σύμφωνα με έναν σχετικά απλό  κανόνα.

Στο πλαίσιο κειμένου με όνομα < εξίσωση> εισάγουμε εξίσωση της μορφής  α * ημ (n * t)

Για διάφορες τιμές του n σχεδιάζουμε πολλές και ενδιαφέρουσες καμπύλες μεταξύ των οποίων και την κυκλοειδή που με τα προηγούμενα προγράμματα δεν ήταν δυνατόν.

Για n=1          ---> κυκλοειδείς καμπύλες

Για n=2 ή n>2 ---> υποκυκλοειδείς (όπως 3 * ημ 3 * t αστροειδής)

Για n=1 / m    ---> επικυκλοειδείς (όπως 2 * ημ t / 2 νεφροειδής)

Μπορείτε να πειραματιστείτε αν διαθέτετε το Microworlds και χρησιμοποιήσετε τον κώδικα σε Logo που δόθηκε παραπάνω. Για οποιοδήποτε πληροφορία επικοινωνήστε με το συγγραφέα με e-mail.

"

 
Σύνδεση
Παρωνύμιο

Συνθηματικό

Δεν έχετε ακόμα Λογαριασμό; Μπορείτε να ανοίξτε ένα. Ως εγγεγραμμένος έχετε κάποιες επιπλέον δυνατότητες όπως διαχείριση θεμάτων, διαμόρφωση παρατηρήσεων και καταχώρηση παρατηρήσεων με τ'όνομα σας.

Συσχετιζόμενοι Σύνδεσμοι
· Περισσότερα για Microworlds Εκπαιδευτικές Εφαρμογές
· Νέα admin0


Πιο δημοφιλής είδηση για Microworlds Εκπαιδευτικές Εφαρμογές:
Η αυτοομοιότητα: Μια ιδιότητα των fractals (Microworlds). Του Ν. Δαπόντε.


Article Rating
Average Score: 4.5
Αριθμός Ψήφων: 2


Please take a second and vote for this article:

Excellent
Very Good
Good
Regular
Bad


Επιλογές

 Εκτύπωση αρχικής σελίδας Εκτύπωση αρχικής σελίδας



 
Web site powered by PHP-Nuke

All logos and trademarks in this site are property of their respective owner. The comments are property of their posters, all the rest © 2005 by me.
You can syndicate our news using the file backend.php or ultramode.txt
PHP-Nuke Copyright © 2005 by Francisco Burzi. This is free software, and you may redistribute it under the GPL. PHP-Nuke comes with absolutely no warranty, for details, see the license.