Search
Topics
  Create an account Home  ·  Topics  ·  Downloads  ·  Your Account  ·  Submit News  ·  Top 10  
Περιφέρεια Ν. Αιγαίου


Online χρήστες
Υπάρχουν επί του παρόντος 27 Επισκέπτης(ες) και 0 Μέλος(η) που είναι συνδεδεμένος(οι)

Είσαστε ανώνυμος χρήστης. Μπορείτε να εγγραφείτε πατώντας εδώ

Ενδιαφέρουσες Συνδέσεις
Ενδιαφέρουσες Συνδέσεις

Εξετάσεις
Πανελλήνιες
ΑΣΕΠ

Έργα 3ου ΚΠΣ
Επιτροπή Επιμόρφωσης Ν. Κυκλάδων
ΠΕΠ Ν.Αιγαίου
Δικτυακός Τόπος ΚτΠ
Γραφείο για την ΚτΠ του ΥΠΕΠΘ
Ειδική υπηρεσία εφαρμογής προγραμμάτων ΚΠΣ
Δικτυακός Τόπος ΕΠΕΑΕΚ

Μεταπτυχιακά
Μεταπτυχιακά

Ανακοινώσεις EduNet
-Λογαριασμοί mail και dialup για εκπαιδευτικούς

Ευρωπαϊκά Προγράμματα
Τρέχοντα προγράμματα που ενδιαφέρουν τα σχολεία
European SchoolNet

Πολιτιστικές Εκδηλώσεις
Πολιτιστικές Εκδηλώσεις 

Εκπαιδευτική Νομοθεσία
Εκπαιδευτική Νομοθεσία

Δρομολόγια Πλοίων
Δρομολόγια Πλοίων (από και προς Σύρο)

Δρομολόγια Πλοίων γισ τα νησιά των Κυκλάδων




Άλλες πηγές καιρού



ΕΛΜΕ Κυκλάδων


ΚΕΠΛΗΝΕΤ Νομού Κυκλάδων
  





Σχολικοί Σύμβουλοι


Τηλεεκπαίδευση

Πληροφορίες από εδώ.


Μελέτες-Έρευνες: Η αυτοομοιότητα: Μια ιδιότητα των fractals (Microworlds). Του Ν. Δαπόντε.
Ημερομηνία καταχώρησης Tuesday, June 29 @ 13:36:38 EEST από admin0

Microworlds Εκπαιδευτικές Εφαρμογές

Νίκος Δαπόντες, daponte@sch.gr

Στο πλαίσιο της Φράκταλ Γεωμετρίας δύο είναι οι πιο βασικές ιδιότητες που χαρακτηρίζουν τα αντικείμενα της: η αυτοομοιότητα και η κλασματική (φράκταλ) διάστασή τους. Στην εργασία μας εδώ ενδιαφερόμαστε αρχικά μόνο για την ιδιότητα της "αυτοομοιότητας" ως έννοια που διευρύνει την γνωστή γεωμετρική έννοια της ομοιότητας.  Στη συνέχεια εστιάζουμε την προσοχή μας στην αυτοομοιότητα που παρουσιάζουν τόσο τα φράκταλ του φυσικού κόσμου (όπως η φτέρη και μια ακτογραμμή) όσο και τα μαθηματικά φράκταλ (όπως το τρίγωνο του Sierpinski, η χιονονιφάδα του Koch, τα φρακταλ δέντρα και η φτέρη).



Η αυτοομοιότητα στην Ευκλείδια Γεωμετρία.

Στην Ευκλείδια Γεωμετρία έχει καθιερωθεί η έννοια "ομοιότητα". Δύο ευθύγραμμα γεωμετρικά σχήματα είναι όμοια αν έχουν την ίδια μορφή ανεξάρτητα από το μέγεθός τους. Όμως, οφείλουν να έχουν τις πλευρές τους ανάλογες και τις γωνίες που σχηματίζονται από ομόλογες πλευρές τους ίσες μία προς μία. Στο παρακάτω σχήμα εύκολα διαπιστώνουμε ότι "καθένα από τα μικρά τραπέζια είναι αντίγραφα του μεγαλύτερου τραπεζίου".

 Ας παρατηρήσουμε και την ακόλουθη σειρά γεωμετρικών σχημάτων:

Και σ΄αυτήν την περίπτωση συμπεραίνουμε ότι το καθένα από τα συνιστώντα μέρη είναι αντίγραφο του μεγαλύτερου. Μπορούμε να λέμε ότι τα παραπάνω σχήματα χαρακτηρίζονται από την ιδιότητα της αυτοομοιότητας. Όλα τα μέρη του είναι όμοια μεταξύ τους καθώς και με το αρχικό. Τα παραδείγματα δείχνουν ότι η έννοια που μας ενδιαφέρει εμφανίζεται σε γεωμετρικά σχήματα τα οποία δεν είναι φράκταλ.

Η αυτοομοιότητα στη φύση.

Τρία χαρακτηριστικά παραδείγματα φυσικών αντικειμένων που εκδηλώνεται η αυτοομοιότητα είναι το κουνουπίδι, η φτέρη και οι ακτογραμμές.

α. Αν από ένα κουνουπίδι αποσπάσουμε ένα κομμάτι θα διαπιστώσουμε ότι αυτό θα μοιάζει με το αρχικό, θα είναι ένα μικρότερο αντίγραφο.

Αν από το πρώτο αποσπάσουμε ένα κομμάτι θα διαπιστώσουμε ότι είναι ακόμα μικρότερο αλλά εξακολουθεί να μοιάζει με το αρχικό. Συνεχίζοντας αυτή τη διαδικασία, κάποια στιγμή, δεν θα ισχύει η ιδιότητα της αυτοομοιότητας, κάπου θα "ξεθωριάσει". Το κουνουπίδι είναι ένα φυσικό φρακταλ μια και διαθέτει την ιδιότητα της αυτοομοιότητας.

β. Η φτέρη ανήκει στην κατηγορία των φυτών που εκδηλώνουν την ιδιότητα της αυτομομοιότητας με τον καλύτερο τρόπο. Μια φτέρη αποτελείται από φύλλα καθένα από τα οποία αποτελείται από πολλά μικρότερα. Και αυτά ακόμα τα μικρά φύλλα αποτελούνται από ακόμα μικρότερα που διατηρούν την ίδια δομή με τη φτέρη.

                     Όσο από πιο κοντά παρατηρούμε μια φτέρη τόσο περισσότερες λεπτομέρεις βλέπουμε.

             

Η φτέρη είναι ένα φυσικό φράκταλ μια και διαθέτει την ιδιότητα της αυτοομοιότητας.

γ. Ας παρατηρήσουμε χάρτες που περιγράφουν ακτογραμμές σε διαφορετικές κλίμακες όπως αυτή που ακολουθεί (παρμένη από το βιβλίο Fractals for the classroom):

Αυτό που μας αποκαλύπτεται είναι μια όμοια κατανομή κόλπων και ακρωτηρίων. Μπορούμε να θεωρήσουμε ότι μια ακτογραμμή παρουσιάζει φρακταλ δομή με την έννοια ότι αν μεγεθύνεται εμφανίζονται νέοι κολποι και ακρωτήρια και παρόλα αυτά εξακολουθεί να μοιάζει με ακτογραμμή.

Η αυτοομοιότητα στα μαθηματικά φράκταλ. 

Η στοιχειώδης μοντελοποίηση μιας φτέρης μπορεί να πραγματοποιηθεί με τη χρήση ενός υπολογιστικού περιβάλλοντος. Ένα μικρό πρόγραμμα που περιλαμβάνει πολλαπλές αναδρομικές κλήσεις, συνήθως, είναι αρκετό για να μοντελοποιήσουμε ορισμένα ενδιαφέροντα μαθηματικά φράκταλ όπως για παράδειγμα η φτέρη, το τρίγωνο του Sierpinski, τα φρακταλ δέντρα και η χιονονιφάδα του Koch. Η μοντελοποίηση στον υπολογιστή τέτοιων φράκταλ θα μας βοηθήσει να πειραματιστούμε με αντικείμενα που δεν ανήκουν στην περιοχή μελέτης της Ευκλείδιας Γεωμετρίας. 

Επιλέγουμε το εκπαιδευτικό λογισμικό Microworlds Pro το οποίο διαθέτει τη Logo, μια γλώσσα με εκπληκτικές δυνατότητες για προγραμματισμό διδαδικασιών που καλούν τον εαυτό τους.    

α) Φράκταλ φτέρη.    

Ο κώδικας του προγράμματος είναι λίγες γραμμές. Το ίδιο συμβαίνει και με τις εντολές που χρησιμοποιούμε. Με τις εντολές αυτές ζητάμε από τη χελώνα να προχωράει μπροστά ή πίσω (μπ <μήκος> , πι <μήκος>) και να στρίβει δεξιά ή αριστερά  (δε <γωνία σε μοίρες>, αρ <γωνία σε μοίρες>). Το δύσκολο μέρος του προγράμματος είναι μόνο η κατανόηση των αναδρομικών κλήσεων.

Ο κώδικας του προγράμματος για τη μοντελοποίηση  του "φράκταλ φτέρη".

Με το τρέξιμο αυτού του προγράμματος παίρνουμε εικόνες φράκταλ φτέρης που μοιάζουν εξαιρετικά με τις φυσικές. Η μοντελοποίηση μιας φτέρης στον υπολογιστή είναι υλοποιήσιμη με πρόγραμμα λίγων γραμμών και στοιχειώδεις εντολές Γεωμετρίας της Χελώνας. 

  

Η αυτοομοιότητα στη φράκταλ φτέρη είναι φανερή όπως και στην πραγματική που είδαμε παραπάνω.

Για όποιον ενδιαφέρεται μπορεί να πειραματιστεί με το να αλλάζει παραμέτρους ή εισόδους στις διαδικασίες κλήσης.

β) Τα Φράκταλ του Sierpinski.

Το τρίγωνο του Sierpinski μπορεί να φτιαχτεί ακολουθώντας συγκεκριμένα βήματα. Στην αφετηρία έχουμε ένα ισόπλευρο τρίγωνο. Ενώνουμε τα μέσα των πλευρών του και απομακρύνουμε το τρίγωνο που σχηματίζεται στο εσωτερικό του. Έτσι, σχηματίζονται τρία τρίγωνα καθένα από τα οποία έχει εμβαδόν το 1/4 του αρχικού. Επαναλαμβάνουμε την ίδια διαδικασία συνεχώς και παίρνουμε τα παρακάτω εικόνα.

  Το φράκταλ σχήμα δημιουργείται στο περιβάλλον του Microworlds με το τρέξιμο της διαδικασίας αναδρομικών κλήσεων:

Η αυτοομοιότητα αυτού του φράκταλ φαίνεται στο σχήμα:

Αν ως αφετηρία έχουμε ένα τετράγωνο αντί για ισόπλευρο τρίγωνο και ακολουθήσουμε παρόμοια διαδικασία παίρνουμε τα παρακάτω σχήματα. Η διαδικασία είναι παρόμοια με αυτήν που δημιουργήσαμε τα τρίγωνα του Sierpinski.

Για όποιον ενδιαφέρεται μπορεί να γνωρίσει και μιαν άλλη προσέγγιση δημιουργίας του τριγώνου Sierpinski.  (The Chaos Game: Το τρίγωνο του Sierpinski).

γ) Η χιονονιφάδα του Koch

Η διαδικασία κατασκευής της καμπύλης του Koch και το αντίστοιχο πρόγραμμα στο Microworlds δίνεται αμέσως παρακάτω:

Αφετηρία της κατασκευής είναι ένα ευθύγραμμο τμήμα (στάθμη 0) το οποίο χωρίζουμε σε τρία ίσα μέρη. Στη συνέχεια αποσπούμε το μεσαίο και στη θέση του κατασκευάζουμε ένα ισόπλευρο τρίγωνο που του έχουμε αφαιρέσει τη βάση. Τώρα έχουμε ένα σχήμα που αποτελείται από 4 ίσα ευθύγραμμα τμήματα (στάθμη 1). Επαναλαμβάνουμε την ίδια διαδικασία για καθένα από τα τέσσερα μέρη (στάθμη 2) και συνεχίζουμε με τον ίδιο τρόπο.

Η αυτοομοιότητα εμπεριέχεται στην ίδια τη διαδικασία κατασκευής της καμπύλης. Καθένα από τα τέσσερα μέρη αυτής της καμπύλης είναι ένα μικρότερο αντίγραφο της αρχικής.

Διευρύνοντας τον τρόπο κατασκευής της απλής καμπύλης του Koch οδηγούμαστε στον προγραμματισμό της χιονονιφάδας του Koch.

 

   


 
Σύνδεση
Παρωνύμιο

Συνθηματικό

Δεν έχετε ακόμα Λογαριασμό; Μπορείτε να ανοίξτε ένα. Ως εγγεγραμμένος έχετε κάποιες επιπλέον δυνατότητες όπως διαχείριση θεμάτων, διαμόρφωση παρατηρήσεων και καταχώρηση παρατηρήσεων με τ'όνομα σας.

Συσχετιζόμενοι Σύνδεσμοι
· Περισσότερα για Microworlds Εκπαιδευτικές Εφαρμογές
· Νέα admin0


Πιο δημοφιλής είδηση για Microworlds Εκπαιδευτικές Εφαρμογές:
Η αυτοομοιότητα: Μια ιδιότητα των fractals (Microworlds). Του Ν. Δαπόντε.


Article Rating
Average Score: 3
Αριθμός Ψήφων: 2


Please take a second and vote for this article:

Excellent
Very Good
Good
Regular
Bad


Επιλογές

 Εκτύπωση αρχικής σελίδας Εκτύπωση αρχικής σελίδας



 
Web site powered by PHP-Nuke

All logos and trademarks in this site are property of their respective owner. The comments are property of their posters, all the rest © 2005 by me.
You can syndicate our news using the file backend.php or ultramode.txt
PHP-Nuke Copyright © 2005 by Francisco Burzi. This is free software, and you may redistribute it under the GPL. PHP-Nuke comes with absolutely no warranty, for details, see the license.